L4: Propädeutik - Koordinatensysteme & Projektionen - Skript¶
Diese Vorlesung ist als Propädeutik (Propaedeutics) gekennzeichnet und dient der Selbststudium-Wiederholung zu Hause ("Repetition for Home Review"). Die zentrale Frage lautet: Wie kommt man von der dreidimensionalen Erdoberfläche zu einer zweidimensionalen Karte? Diese Grundlagen aus der Geodäsie und Kartographie sind unverzichtbar für die Fernerkundung und Geoinformatik, da jede Satellitenszene und jede GIS-Analyse auf einem Koordinatensystem und einer Kartenprojektion basiert.
Slide 2 formuliert die Lernziele: Man soll die grundlegenden Konzepte der Geodäsie (Geodesy) verstehen, darunter Koordinatensysteme, Bezugssysteme (Datums), Ellipsoide und Geoide. Ausserdem soll man Kartenprojektionen im Kontext von Fernerkundung und GIS einordnen können. Rechts auf der Folie sieht man bereits drei wichtige Unterscheidungen: geodätische vs. geographische Breite (\(\beta\) vs. \(\alpha\)), sowie die Beziehung zwischen Geoid, lokalem Datum und globalem Datum.
Koordinaten und Koordinatensysteme¶
Um einen Punkt auf der Erde eindeutig zu beschreiben, benötigt man Koordinaten (Coordinates). Koordinaten sind Zahlenpaare oder Zahlentripel, die eine Position im Raum festlegen. Damit ein Koordinatensystem funktioniert, braucht man zwei Dinge: einen Ursprung (Origin), also einen definierten Punkt oder eine Fläche als Bezug, und Standardrichtungen (Standard Directions), entlang derer gemessen wird. Grundsätzlich unterscheidet man zwei Typen von Koordinatensystemen: das kartesische Koordinatensystem (Cartesian Coordinate System), bei dem Achsen im rechten Winkel zueinander stehen, und das sphärische Koordinatensystem (Spherical Coordinate System), das mit Winkeln arbeitet und auch als geographisches oder geodätisches System bezeichnet wird.
Im kartesischen System werden Positionen durch rechtwinklige Abstände beschrieben. In der Ebene reichen zwei Achsen (\(X\) und \(Y\)), was bei projizierten Koordinaten (Projected Coordinates) zum Einsatz kommt. In drei Dimensionen kommt eine \(Z\)-Achse hinzu, was bei geozentrischen Koordinaten (Geocentric Coordinates) der Fall ist, bei denen der Ursprung im Erdmittelpunkt liegt.
Im sphärischen System hingegen wird die Position durch Drehwinkel angegeben. Die Breitengrad (Latitude, \(\varphi\)) beschreibt den Winkel nördlich oder südlich des Äquators, der Längengrad (Longitude, \(\lambda\)) den Winkel östlich oder westlich eines Bezugsmeridians. Der Positionsvektor geht dabei vom Mittelpunkt des Ellipsoids nach aussen.
Auf Slide 6 sieht man den Globus mit seinem Netz aus Meridianen (Meridians, Längenkreise) und Breitenkreisen (Parallels). Der Nullmeridian (Prime Meridian) verläuft durch Greenwich bei London und bildet die Referenz für alle Längengrade. Die Breitenkreise verlaufen parallel zum Äquator. Zusammen bilden Meridiane und Breitenkreise das geographische Gitter, mit dem jeder Punkt auf der Erde adressierbar ist.
Als konkretes Beispiel dient das NAWI-Gebäude der Universität Salzburg, dessen Position bei 47°47'17" Nord und 13°03'36" Ost liegt. Diese Angabe in Grad, Minuten und Sekunden ist die klassische Schreibweise geographischer Koordinaten.
Geodäsie: Erdform und Referenzflächen¶
Die Geodäsie (Geodesy) ist die Wissenschaft von der Vermessung der Grösse und Form der Erde. Ein zentraler Begriff dabei ist das Datum (Datum), also eine Referenzfläche, auf die sich alle Messungen beziehen. In der Praxis fungiert ein Datum als Bezugshöhe (Site Datum), von der aus Höhen gemessen werden.
Slide 9 zeigt ein Diagramm mit einer Datumsfläche und darüber liegenden Punkten \(p_1\), \(p_2\) und \(p_3\), die jeweils Höhen \(h_1\), \(h_2\) und \(h_3\) über dem Datum haben. Dieses einfache Konzept ist fundamental: Alle Höhenangaben auf Karten oder in GIS-Systemen sind nur sinnvoll, wenn klar ist, worauf sie sich beziehen.
Ob ein Datum national oder global ist, hängt von der Vereinbarung ab. Verschiedene Nationen einigen sich auf Standards, die für ihre Region die besten Ergebnisse liefern. Ein Datum ist also stets eine vereinbarte Referenzfläche mit festgelegten Parametern.
Die Erde ist keine perfekte Kugel, sondern an den Polen abgeflacht. Diese Form wird durch ein Ellipsoid (Ellipsoid) beschrieben, also einen Rotationskörper mit zwei charakteristischen Radien: dem Äquatorradius (Semi-major Axis, \(r_1\)), der den grössten Radius am Äquator darstellt, und dem Polradius (Semi-minor Axis, \(r_2\)), der den kleineren Radius an den Polen beschreibt. Die Abplattung (Flattening) wird berechnet als \(f = \frac{r_1 - r_2}{r_1}\) und quantifiziert, wie stark die Erde von einer Kugel abweicht.
Die Erkenntnis, dass die Erde abgeplattet ist, wurde nicht kampflos gewonnen. Im 17. und 18. Jahrhundert gab es widersprüchliche Messungen: Manche deuteten auf eine perfekte Kugel hin, andere auf eine Abplattung am Äquator und wieder andere auf eine Abplattung an den Polen.
Die Frage wurde schliesslich durch französische Expeditionen in den 1730er-Jahren geklärt. Man mass Meridianbögen bei unterschiedlichen Breiten und verglich ihre Längen. Das Ergebnis war eindeutig: Ein Bogen näher am Pol (\(\text{arc}_1\)) war länger als ein Bogen näher am Äquator (\(\text{arc}_2\)), was beweist, dass die Erde an den Polen abgeflacht ist.
Doch auch das Ellipsoid ist nur eine Annäherung. Die Erde ist nicht exakt ellipsoidisch, weil Unterschiede in der Massenverteilung und damit in der Gravitation zu Unregelmässigkeiten führen. Wichtig: Diese Abweichungen sind nicht die sichtbare Topographie (Berge, Täler), sondern subtilere Variationen des Schwerefeldes.
Die tatsächliche Form der Erde wird daher durch das Geoid (Geoid) beschrieben. Auf Slide 15 sieht man das Geoid (gepunktete Linie) im Vergleich zum Ellipsoid (durchgezogene Linie). Die Abweichungen sind zur Veranschaulichung stark übertrieben dargestellt. Das Geoid ist diejenige Äquipotentialfläche des Schwerefeldes, die dem mittleren Meeresspiegel am besten entspricht.
Im Unterschied zum Ellipsoid, das mathematisch exakt definiert ist, ist das Geoid eine gemessene Fläche. Es wird bestimmt durch Gravimeter (Gravimeters), die die Schwerkraft an verschiedenen Punkten messen, oder durch die Analyse von Satellitenbahnen (Ephemerides), deren Abweichungen Rückschlüsse auf das Schwerefeld erlauben. Das Geoid stellt eine Annäherung an den mittleren Meeresspiegel (Mean Sea Level) dar.
Die Differenz zwischen Geoid und Ellipsoid wird als Geoidundulation (Geoid-Ellipsoid Separation, Undulation) bezeichnet. Slide 17 zeigt eine globale Karte dieser Undulation. Im Durchschnitt beträgt sie etwa 30 Meter, wobei sie nirgendwo 100 Meter überschreitet. Die Farben auf der Karte zeigen, wo das Geoid über dem Ellipsoid liegt (positiv) und wo darunter (negativ).
Da ein einzelnes Ellipsoid nicht überall gleich gut zur Geoidoberfläche passt, haben verschiedene Länder verschiedene Ellipsoide verwendet. Slide 18 veranschaulicht dies: Ellipsoid A passt in einer Region besser zum Geoid, Ellipsoid B in einer anderen. Man wählt jeweils das Ellipsoid, das lokal die geringste Abweichung zum Geoid aufweist.
Diese lokalen Ellipsoide (Local Ellipsoids) werden durch ihren Ursprung, den Äquatorradius (\(R_1\)) und den Polradius (\(R_2\)) spezifiziert, sodass die Abweichung zum Geoid in der jeweiligen Region minimiert wird. Bekannte Beispiele sind das Clarke-Ellipsoid von 1880 und das Bessel-Ellipsoid von 1841, die jeweils für bestimmte Länder optimiert sind.
Im Gegensatz dazu steht das globale Ellipsoid (Global Ellipsoid), das weltweit den besten Kompromiss darstellt. Das bekannteste Beispiel ist WGS84 (World Geodetic System 1984), das von GPS-Systemen verwendet wird, sowie ITRF 2000 (International Terrestrial Reference Frame).
Ellipsoide, Transformation und Höhensysteme¶
Slide 21 zeigt eine Übersichtstabelle der historisch und aktuell genutzten Ellipsoide nach Snyder (1987). Darin finden sich unter anderem das Airy-Ellipsoid von 1830 (verwendet in Grossbritannien), das Bessel-Ellipsoid von 1841 (verwendet in Mitteleuropa und Japan), das Clarke-Ellipsoid in den Versionen 1866 (Nordamerika) und 1880 (Frankreich, Afrika), das Internationale Ellipsoid von 1924, das GRS80 von 1980 sowie das WGS72 von 1972. Jedes Ellipsoid hat spezifische Werte für Äquatorradius, Polradius und Abplattungsfaktor.
Die Transformation zwischen Referenzflächen (Transformation Between Reference Surfaces) ist ein mathematischer Vorgang, der Verschiebung des Ursprungs (Origin Shift) und Abbildung (Mapping) umfasst. Diese Transformationen werden im Laufe des Semesters noch vertieft behandelt.
Beim geozentrischen Ellipsoid (Geocentric Ellipsoid) liegt der Ursprung des 3D-kartesischen Koordinatensystems im Massenschwerpunkt der Erde. WGS84 ist ein solches geozentrisches System und bildet die Grundlage für satellitengestützte Navigation.
Für jeden Punkt auf der Erdoberfläche gibt es drei relevante Flächen: das Ellipsoid, das Geoid und die physische Oberfläche (Physical Surface). Da diese drei Flächen an jedem Punkt unterschiedliche Höhen aufweisen können, ergeben sich bis zu drei verschiedene Höhenwerte für denselben Punkt.
Die horizontale Position (Horizontal Position) eines Punktes wird als Breiten-/Längengradpaar auf einem bestimmten Ellipsoid (Spheroid) angegeben. Die Wahl des Ellipsoids ist dabei entscheidend, da die gleiche geographische Koordinate auf verschiedenen Ellipsoiden unterschiedliche physische Positionen bezeichnen kann.
Bei der Höhe wird es komplexer. Orthometrische Höhen (Orthometric Heights) sind Höhen über dem Geoid und entsprechen dem, was man üblicherweise als "Höhe über dem Meeresspiegel" versteht. Sie werden auf topographischen Karten verwendet. Sphäroidische Höhen (Spheroidal Heights, Ellipsoidal Heights) hingegen beziehen sich auf das Ellipsoid. Slide 26 zeigt ein Diagramm mit der physischen Erdoberfläche, dem Ellipsoid und dem Geoid, woraus ersichtlich wird, wie diese verschiedenen Höhenbezüge zusammenhängen. Die Differenz zwischen sphäroidischer und orthometrischer Höhe ist die Geoidundulation.
Die Definition eines vollständigen Datums umfasst zwei Komponenten: Das horizontale Datum (Horizontal Datum) legt das verwendete Ellipsoid und die Koordinatenpositionen fest. Das vertikale Datum (Vertical Datum) spezifiziert das Ellipsoid zusammen mit einem Geoidmodell. Beide zusammen bilden das geodätische Bezugssystem.
Kartenprojektionen und UTM¶
Historisch wurde die horizontale Distanz auf der Erdoberfläche durch Nivellieren (Leveling) gemessen, also das Messen von Winkeln und Distanzen mit optischen Instrumenten.
Kartenprojektionen (Map Projections) sind systematische Verfahren, um die dreidimensionale sphärische Erdoberfläche auf eine zweidimensionale kartesische Ebene abzubilden. Je nachdem, von welchem Punkt aus projiziert wird, unterscheidet man drei Grundtypen: Die orthographische Projektion (Orthographic), bei der die Lichtquelle im Unendlichen liegt, die stereographische Projektion (Stereographic), bei der sie am gegenüberliegenden Punkt (Antipode) liegt, und die gnomonische Projektion (Gnomonic), bei der sie im Erdmittelpunkt liegt.
Neben der Lichtquelle spielt die Projektionsfläche (Projection Surface) eine entscheidende Rolle. Die drei klassischen Projektionsflächen sind der Kegel (Cone, ergibt eine konische Projektion), der Zylinder (Cylinder, ergibt eine zylindrische Projektion) und die Ebene (Plane, ergibt eine azimutale Projektion). Slide 30 zeigt die verschiedenen Kombinationen: regulärer Zylinder, regulärer Kegel, transversaler Zylinder und polare Azimutalprojektion.
Kegel und Zylinder sind sogenannte abwickelbare Flächen (Developable Surfaces), die man aufschneiden und flach ausrollen kann, um eine Karte zu erhalten. Slide 31 illustriert dieses Prinzip: Man sieht die Schnittlinie (Cut Line) und die aufgerollte Projektionsfläche.
Beim konischen Fall schneidet der Kegel den Ellipsoid entlang zweier Standardparallelen (Standard Parallels). Entlang dieser Linien ist die Abbildung verzerrungsfrei.
Beim zylindrischen Fall unterscheidet man den äquatorialen Zylinder (Equatorial Cylinder), der tangential am Äquator anliegt, vom transversalen Zylinder (Transverse Cylinder), der tangential entlang eines Meridians anliegt. Die transversale Variante ist die Basis des UTM-Systems.
Jede Projektion verzerrt die Realität, aber verschiedene Projektionen bewahren verschiedene Eigenschaften. Winkeltreue (Conformal) Projektionen erhalten die Formen lokal, längentreue (Equidistant) Projektionen bewahren Entfernungen in bestimmten Richtungen, richtungstreue (Azimuthal) Projektionen erhalten die Richtungen von einem Zentralpunkt, gnomonische Projektionen bilden Grosskreise als Geraden ab, und stereographische Projektionen bewahren kreisförmige Formen.
Die Verzerrung ist nicht überall gleich. In der Nähe der Berührungslinie zwischen Projektionsfläche und Ellipsoid ist die Verzerrung minimal (\(ab < AB\)), während sie mit zunehmendem Abstand wächst (\(de > DE\)). Slide 35 zeigt diesen Effekt anhand eines zylindrischen Beispiels.
Slide 36 vergleicht die Verzerrungsmuster verschiedener Projektionsflächen anhand von Tissot-Indikatrizen (Tissot Indicatrices). Das sind kleine Kreise, die auf dem Globus gezeichnet und dann in der Projektion dargestellt werden. Ihre Verformung zu Ellipsen zeigt die lokale Verzerrung an. Eine zylindrische Projektion verzerrt vor allem in den Polarregionen, eine konische am stärksten an den Rändern.
Zusätzlich zur Projektionsfläche spielt die Orientierung (Orientation) eine Rolle. Eine äquatoriale (Equatorial) Projektion schneidet den Äquator, eine transversale (Transverse) steht im rechten Winkel dazu.
Slide 38 fasst die drei Projektionsquellen nochmals zusammen: gnomonisch (Projektion vom Erdmittelpunkt), stereographisch (vom Antipoden) und orthographisch (aus dem Unendlichen). Jede erzeugt ein anderes Verzerrungsmuster.
Um eine Projektion vollständig zu spezifizieren, braucht man mehrere Parameter: den Typ der Projektionsfläche, das zugrunde liegende Ellipsoid mit Datum, den Schnittpunkt bzw. die Berührungslinie, den Projektionsursprung und die Koordinateneinheiten.
Als Beispiel dient die Lambert Conformal Conic (LCC) Projektion, eine winkeltreue konische Projektion. Sie erfordert die Angabe einer oberen und unteren Standardparallele, des Ellipsoids, des Zentralmeridians und des Projektionsursprungs.
In der Praxis definieren Regierungen Standardprojektionen (Standard Projections) für ihr Gebiet. Durch die Wahl einer geeigneten Projektion und die Beschränkung auf ein begrenztes Gebiet lassen sich die Verzerrungen auf ein akzeptables Mass reduzieren.
Das UTM-System (Universal Transverse Mercator) ist das weltweit am häufigsten verwendete Projektionssystem. Es teilt die Erde in 60 Zonen zu je 6 Grad Länge auf. Slide 42 zeigt die globale UTM-Zoneneinteilung.
Jede UTM-Zone hat einen eigenen Zentralmeridian (Central Meridian), und der Koordinatenursprung liegt am Schnittpunkt des Zentralmeridians mit dem Äquator. Damit alle Koordinatenwerte positiv bleiben, wird dem Ostwert (Easting) ein False Easting von 500.000 Metern hinzugefügt, sodass der Zentralmeridian den Ostwert 500.000 m hat. Auf der Südhalbkugel wird zusätzlich ein False Northing von 10.000.000 Metern addiert. Wichtig: Die Koordinaten sind an den Zonengrenzen nicht stetig (Discontinuous), was bei zonenübergreifenden Analysen beachtet werden muss.
Slide 44 zeigt die UTM-Zonen für die USA (Zonen 10-19 vom Pazifik zum Atlantik) als konkretes Anwendungsbeispiel.
UTM-Koordinaten werden in Metern angegeben. Es gibt zwei gängige Schreibweisen: das Topo-Format mit Easting und Northing, und das Standardformat, das die Zonenangabe beinhaltet, z.B. UTM 10S 0545980E 4185742N.
Neben UTM existieren zahlreiche nationale Projektionen (National Projections), die auf die jeweilige Region zugeschnitten sind. Slide 46 zeigt ein Beispiel mit Standardparallelen für Nordamerika.
Slide 47 macht eine wichtige Unterscheidung: Kartenprojektionen (Map Projections) bilden von 3D auf 2D ab, während Datumstransformationen (Datum Transformations) von einem 3D-System in ein anderes 3D-System überführen. Wenn man die Projektion eines Datensatzes ändert, kann es sein, dass man sowohl eine Datumstransformation als auch eine Kartenprojektion durchführen muss.
Zusammenfassend gilt: Alle Kartenprojektionen verursachen Verzerrungen. Diese lassen sich durch die Wahl eines geeigneten Projektionstyps und die Beschränkung auf ein begrenztes Gebiet kontrollieren. Standardprojektionen existieren für verschiedene Regionen, und sie unterscheiden sich durch das zugrunde liegende Datum.
Georeferenzierung und Koordinatentransformation¶
In der Fernerkundung arbeitet man mit zwei Koordinatensystemen: dem Bildkoordinatensystem (Image Coordinate System, \(x', y'\)) und dem Referenzsystem (Reference System, \(X, Y\)). Jedes Pixel eines Satellitenbildes hat zunächst nur Bildkoordinaten (Zeile, Spalte). Um diese mit der realen Welt zu verknüpfen, muss eine Transformation durchgeführt werden.
Die Transformation (Transformation) wird als lineare Gleichung formuliert: \((x, y) = f(X, Y)\). Die Parameter dieser Gleichung werden mithilfe von Passpunkten (Control Points) bestimmt, also Punkten, deren Position sowohl im Bild als auch im Referenzsystem bekannt ist.
Die einfachste Form ist die Ähnlichkeitstransformation (Likeness Transformation, Similarity Transformation). Ihre Formeln lauten:
Dabei sind \(X_0\) und \(Y_0\) die Translation (Translation, Verschiebung des Ursprungs), \(m\) der Massstab (Scale) und \(\alpha\) der Rotationswinkel (Rotation Angle).
Durch die Substitution \(a = m \cdot \cos\alpha\) und \(b = m \cdot \sin\alpha\) vereinfachen sich die Formeln zu:
Diese Schreibweise ist rechentechnisch einfacher und zeigt deutlich die vier unbekannten Parameter \(X_0\), \(Y_0\), \(a\) und \(b\).
Da vier Unbekannte bestimmt werden müssen, braucht man mindestens zwei Passpunkte (Control Points) mit jeweils zwei Koordinaten, was vier Gleichungen ergibt. In der Praxis verwendet man jedoch mehr Passpunkte und löst das überbestimmte Gleichungssystem mit der Methode der kleinsten Quadrate (Least Squares Method), um Messfehler auszugleichen.
Eine flexiblere Form ist die Affintransformation (Affine Transformation):
Diese hat sechs Unbekannte, die zwei Translationen, zwei Rotationen mit Scherung (Shear) und zwei unterschiedliche Massstabsfaktoren in \(X\)- und \(Y\)-Richtung umfassen. Die Affintransformation kann also zusätzlich Scherung und richtungsabhängige Massstabsunterschiede modellieren.
Beim Geo-Coding (Geo-Coding) werden die ermittelten Transformationsparameter auf das gesamte Bild angewandt. Üblicherweise geschieht dies als indirekte Transformation (Indirect Transformation): Für jedes Pixel im Zielbild (Referenzsystem) wird berechnet, welchem Pixel im Ausgangsbild es entspricht, und der Grauwert wird entsprechend übertragen. Dieses Verfahren stellt sicher, dass jedes Pixel im Ergebnisbild einen Wert erhält.
